El conjunto de los números reales

Los números reales (símbolo ℝ) son todos los números que podés representar en una recta: enteros, fracciones, decimales finitos o periódicos, e irracionales como π, √2 o e. La recta real es la recta donde cada punto representa un número real, ordenados de menor a mayor (los más chicos a la izquierda, los más grandes a la derecha).

¿Qué es un intervalo?

Un intervalo es un trozo de la recta real entre dos extremos. Lo más importante de un intervalo es decidir: ¿el extremo se incluye o se excluye?. La notación cambia según eso.

Operaciones con intervalos

• Unión A ∪ B: los x que están en A o en B (en al menos uno).
• Intersección A ∩ B: los x que están en A y en B (en los dos).
• Complemento: lo que no está en el intervalo. Si A = (1, 5], entonces A^c = (−∞, 1] ∪ (5, +∞).

Valor absoluto (módulo)

El módulo de x, escrito |x|, es la distancia desde x hasta el cero. Por eso siempre es ≥ 0.

Ejemplos: |3| = 3, |−3| = 3, |0| = 0.

De manera más general, |x − a| es la distancia entre x y a. Esta interpretación geométrica es la más útil para resolver inecuaciones con módulo.

Inecuaciones con módulo

Pensando en distancias:

Inecuaciones polinómicas

Una inecuación polinómica es algo como x² − 4 ≥ 0 o x³ − x < 0. Procedimiento general:

1. Pasás todo a un lado dejando 0 en el otro (si todavía no está así).
2. Factorizás el polinomio.
3. Identificás las raíces (donde se anula). Esas raíces dividen la recta real en intervalos.
4. Hacés una tabla de signos: en cada intervalo evaluás el polinomio en un valor de prueba.
5. Elegís los intervalos según el signo pedido (incluyendo o no las raíces según sea estricta o no la desigualdad).

Inecuaciones racionales

Algo como (x − 1)/(x + 2) > 0. Misma técnica: factorizás numerador y denominador, marcás los ceros del numerador (donde la fracción vale 0) y los ceros del denominador (donde no está definida), hacés tabla de signos. Importante: los ceros del denominador NUNCA se incluyen, aunque la desigualdad sea no estricta.

¿Qué es una función?

Una función es una "máquina" que toma un número de entrada y devuelve otro número de salida, con una regla bien definida. Se escribe f: A → B donde A es el conjunto de entradas posibles (dominio) y B el conjunto de salidas (codominio).

Lo central: a cada entrada le corresponde una sola salida. Si entran dos veces el mismo x, salen siempre el mismo y.

Dominio, codominio e imagen

• Dominio (Dom(f)): los x donde la función está definida.
• Codominio: el conjunto donde "puede caer" la salida. En análisis usamos siempre ℝ.
• Imagen (Im(f)): los valores y que realmente alcanza la función.

Ejemplo: f(x) = x² tiene dominio ℝ, pero su imagen es solo [0, +∞) porque un cuadrado nunca da negativo.

Cómo encontrar el dominio

El dominio se calcula buscando qué cosas no podés hacer en la fórmula:

Composición de funciones

La composición es aplicar una función a la salida de otra: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Primero entra x a g, sale g(x); ese resultado entra a f, sale f(g(x)).

Dominio de una composición

Para que (f∘g)(x) tenga sentido en x, hacen falta dos cosas:

1. x debe estar en el dominio de g (sino, no podés ni arrancar).
2. g(x) debe estar en el dominio de f.

Función inyectiva (uno a uno)

Una función es inyectiva si distintos x producen distintos y: nunca hay dos entradas que den la misma salida. Geométricamente: una recta horizontal corta al gráfico en a lo sumo un punto (test de la línea horizontal).

Solo las funciones inyectivas tienen inversa.

Función inversa

La inversa de f, escrita f⁻¹, deshace lo que hace f:

Procedimiento para calcularla

1. Escribís y = f(x).
2. Despejás x en función de y (operás algebraicamente).
3. Intercambiás los nombres: lo que era x ahora es y y viceversa.
4. Lo que queda como y es f⁻¹(x).

Función exponencial

La exponencial con base a > 0 es f(x) = a^x. La más usada en análisis es la base e ≈ 2,71828 (número de Euler), que se escribe e^x o exp(x).

Propiedades

Logaritmo natural

El logaritmo natural ln(x) es la función inversa de la exponencial. Por definición: ln(y) = x ⟺ e^x = y.

Propiedades de los logaritmos

Trigonometría

El círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen. Si tomás un ángulo x (medido en radianes, no en grados), las coordenadas del punto sobre el círculo a esa altura son (cos x, sen x):

• cos x: coordenada horizontal del punto.
• sen x: coordenada vertical.
• tg x = sen x / cos x: pendiente del rayo desde el origen al punto.

Conversión grados ↔ radianes

Identidad fundamental y otras

Valores especiales

Signos por cuadrantes

¿Qué es una función partida?

Una función partida (o por ramas, o por trozos) usa distintas fórmulas según en qué tramo del dominio cae x. Se escriben con una llave indicando cada caso.

Esto significa: si x > −2 usás la primera fórmula; si x ≤ −2, la segunda.

Cómo evaluar

Dominio de funciones partidas

El dominio es la unión de los tramos donde la fórmula correspondiente está definida.

Continuidad de funciones partidas

En el "punto de empalme" (donde cambia la rama), hay que chequear que las dos ramas se "peguen". Esto se verá con detalle en la sección 6.

Regiones del plano

Una región del plano se describe con desigualdades en dos variables x, y. Cada desigualdad define un semiplano (o una zona).

Regla del borde

• Desigualdad estricta (<, >): el borde NO se incluye (se dibuja punteado).
• Desigualdad no estricta (≤, ≥): el borde SÍ se incluye (se dibuja sólido).

Combinación de varias condiciones

Si una región se define con varias desigualdades unidas por "y", la región es la intersección: los puntos que cumplen todas.

Idea intuitiva

El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se "acerca" f(x) a medida que x se acerca a a (sin llegar a tocarlo).

Lo que pasa en el punto a no importa — solo lo que pasa cerca. Por eso el límite puede existir aunque f(a) no esté definido, y puede dar distinto que f(a) aunque sí esté definido.

Límites laterales

Mirás cómo f(x) se comporta cuando te acercás solo por izquierda (escrito x → a⁻) o solo por derecha (x → a⁺).

Reglas básicas

Si la función es continua en a (todas las elementales lo son donde están definidas), simplemente reemplazás: lim_x→a f(x) = f(a).

Las "indeterminaciones"

Al reemplazar te puede dar una de estas formas que no son números sino "señales" de que hay que trabajar más:

Resultados que NO son indeterminación

Estrategia 1: factorización (0/0 con polinomios)

Si reemplazando te da 0/0 y la función es cociente de polinomios: x = a es raíz de los dos. Factorizás y simplificás.

Estrategia 2: conjugado (0/0 con raíces)

Cuando hay raíces que se anulan, multiplicás numerador y denominador por el conjugado (la misma expresión con signo central cambiado). Aprovechás la identidad (a−b)(a+b) = a²−b² para "matar" la raíz.

Estrategia 3: término dominante (∞/∞ con polinomios)

Para cocientes de polinomios cuando x → ±∞:

• Grado del numerador > grado del denominador → ±∞ (signo según coeficientes).
• Grado del numerador < grado del denominador → 0.
• Mismo grado → cociente de los coeficientes principales.

Estrategia 4: límites notables

Estos cuatro hay que tenerlos memorizados. Son la base de muchísimos ejercicios.

Generalización clave: si g(x) → 0, entonces sen(g(x))/g(x) → 1, y lo mismo con los otros.

Estrategia 5: número e (forma 1^∞)

Si el límite es de la forma [base]^exponente donde la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞:

Procedimiento práctico: arreglás la base para escribirla como 1 + α(x) con α → 0, identificás α y β, calculás α·β.

Forma ∞ − ∞

Sale típicamente con raíces. Trucos: conjugado o factor común.

¿Qué es la continuidad?

Intuitivamente, una función es continua en un punto si su gráfico no tiene "saltos" ni "huecos" ahí: la podés dibujar sin levantar el lápiz.

Definición formal

Una función f es continua en a si se cumplen las tres cosas:

1. f(a) existe (a está en el dominio).
2. lim_x→a f(x) existe (los dos laterales coinciden y son finitos).
3. Los dos coinciden: lim_x→a f(x) = f(a).

Si falla cualquiera de los tres, hay discontinuidad en a.

Tipos de discontinuidad

• Evitable: el límite existe pero f(a) no, o no coincide con el límite. Se "arregla" redefiniendo f(a).
• De salto: los dos laterales existen pero son distintos. NO se puede arreglar.
• Esencial / asintótica: alguno de los laterales es ±∞.

Continuidad de las funciones elementales

Las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, raíces, son continuas en TODO su dominio. Las sumas, restas, productos, cocientes y composiciones de funciones continuas son continuas (donde tengan sentido).

Continuidad con parámetro · típico de parcial

Te dan una función partida con un parámetro (una letra como a, k, m) en una de las ramas, y te piden hallar el valor del parámetro para que la función sea continua en el punto de empalme.

Teorema de Bolzano

Es uno de los teoremas más usados para garantizar la existencia de raíces.

En palabras: si f es continua y cambia de signo en un intervalo cerrado, en algún punto interior tiene que valer cero.

Lo que Bolzano dice y lo que NO dice

• SÍ dice: existe al menos una raíz.
• NO dice: dónde exactamente está la raíz.
• NO dice: que la raíz sea única (puede haber más de una).
• NO dice nada si f(a)·f(b) > 0 (no significa que NO haya raíz, simplemente Bolzano no se puede aplicar).

Idea: pendiente y tasa de cambio

La derivada mide qué tan rápido cambia f(x) cuando cambia x. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente al gráfico en un punto.

Definición formal

Es el límite del cociente incremental (cambio en y sobre cambio en x) cuando el cambio se hace infinitamente chico.

Otra notación equivalente

¿Cuándo NO existe la derivada?

• La función no es continua en el punto: si hay salto, no hay derivada.
• Hay un quiebre (esquina): los laterales del cociente incremental dan distinto. Ejemplo: |x| en x = 0.
• Tangente vertical: el límite del cociente incremental es ±∞. Ejemplo: ∛x en x = 0.

Tabla de derivadas básicas

Reglas de derivación

Regla de la cadena (la más importante para parciales)

Cuando tenés una función compuesta (función adentro de otra), la derivada se calcula de afuera hacia adentro: derivás la función externa dejando intacta la interna, y al final multiplicás por la derivada de la interna.

Ejemplos de producto y cociente

Derivadas de orden superior

Podés derivar la derivada para obtener la segunda derivada f''(x), que mide cómo cambia la pendiente (concavidad). Y así sucesivamente: f''', f⁽⁴⁾, etc.

Definición

La recta tangente al gráfico de f en el punto (x₀, f(x₀)) es la recta que roza al gráfico ahí, con la misma pendiente local. Su pendiente es f'(x₀).

Fórmula

Es la ecuación de la recta que pasa por el punto (x₀, f(x₀)) con pendiente m = f'(x₀). La podés despejar a y = mx + b si te conviene.

Cálculo paso a paso

1. Calculás f(x₀) (la "altura" del punto de tangencia).
2. Calculás f'(x) (la fórmula de la derivada).
3. Evaluás f'(x₀) (la pendiente).
4. Reemplazás en la fórmula y arreglás.

Lectura inversa: tangente dada

Te pueden dar la tangente y pedir información de f. Si la tangente a f en x₀ es y = mx + b, entonces:

Tangente con composiciones (estilo Cabana)

El parcial suele combinar la información de una tangente con la regla de la cadena: te dicen "la tangente a f en x = 1 es y = 3x + 1" y te piden la derivada de una función compuesta que involucra a f.

Tangente paralela a una recta dada

Si te piden encontrar el punto donde la tangente sea paralela a una recta de pendiente m, planteás f'(x) = m y despejás x.

Tangente horizontal

Una recta horizontal tiene pendiente 0, así que la tangente es horizontal donde f'(x) = 0 — los puntos críticos de la sección 13.

Derivación implícita

Hay relaciones donde y está mezclada con x y no se puede (o no conviene) despejar y. Por ejemplo: x² + y² = 25 (un círculo) o xy + y² = 6.

Para encontrar y' sin despejar, usamos derivación implícita: derivamos ambos lados respecto de x, recordando que y es función de x.

Procedimiento

1. Derivás ambos lados de la ecuación respecto de x.
2. Cada vez que aparece y, recordá que depende de x: aplicás cadena y queda multiplicado por y'.
3. Agrupás todos los términos con y' de un lado.
4. Despejás y'.

Derivada de la inversa

Si f es derivable y tiene inversa f⁻¹, hay una fórmula muy útil para evaluar la derivada de la inversa sin tener que calcularla explícitamente:

Cómo se usa

1. Te dan f y un valor b; te piden (f⁻¹)'(b).
2. Buscás a tal que f(a) = b. (A veces es a ojo o por tanteo.)
3. Calculás f'(x) y evaluás en a.
4. El resultado es 1/f'(a).

¿Por qué funciona?

Pensalo geométricamente: el gráfico de f⁻¹ es la reflexión del de f respecto de y = x. Esa reflexión intercambia pendientes con sus recíprocas: si en a la pendiente de f es m, en b = f(a) la pendiente de f⁻¹ es 1/m.

Idea: cerca del punto, todo es recta

Cerca de x₀, el gráfico de f se parece mucho a su recta tangente. Esto permite aproximar valores de la función usando la tangente, que es mucho más fácil de calcular.

Aproximación lineal

O equivalentemente: f(x) ≈ f(x₀) + (x − x₀) · f'(x₀) cuando x está cerca de x₀. La parte de la derecha es justamente la recta tangente.

Diferencial

El diferencial dy es la variación que predice la tangente ante un cambio dx:

El diferencial es lineal: si duplicás dx, se duplica dy.

Incremento vs diferencial

Para Δx chico, Δy ≈ dy. La diferencia entre los dos es el "error" de la aproximación.

Aplicación: aproximar valores

Si querés calcular f(x) para un x "raro" (no de tabla), buscás un x₀ cercano "fácil" y usás la aproximación.

Cuándo es buena la aproximación

• Cuando Δx es chico.
• Cuando f no varía mucho su pendiente cerca de x₀ (no hay mucha curvatura).
• Cuando f es derivable en x₀.

Enunciado

La regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞ derivando numerador y denominador por separado.

El a puede ser un número, +∞ o −∞.

Condiciones (lo que NO hay que olvidar)

• La forma DEBE ser exactamente 0/0 o ∞/∞. Si reemplazando da 2/3, ese es el límite y NO se aplica L'Hôpital.
• Derivás numerador y denominador por separado, NO la regla del cociente.
• Si después de aplicarla SIGUE dando 0/0 o ∞/∞, podés volver a aplicarla.
• Si el nuevo límite no existe, NO podés concluir que el original tampoco existía. Solo significa que L'Hôpital no sirvió ahí.

Otras indeterminaciones — convertirlas a 0/0 o ∞/∞

Cuándo L'Hôpital NO conviene (o no funciona)

¿Qué es una asíntota?

Una asíntota es una recta a la que el gráfico de f se acerca indefinidamente (sin necesariamente tocarla). Hay tres tipos: vertical, horizontal y oblicua.

Asíntota vertical (AV)

Las AV aparecen en los puntos fuera del dominio donde el límite se dispara a infinito (típicamente, donde se anula un denominador o el argumento de un logaritmo).

Asíntota horizontal (AH)

Calculás los dos límites en infinito (a derecha y a izquierda). Si dan finito, esos valores son AH. Pueden ser distintos a derecha y a izquierda.

Asíntota oblicua (AO)

Si f NO tiene AH a un lado, puede tener AO en ese lado: una recta no horizontal a la que el gráfico se acerca.

Para racionales (cociente de polinomios)

Idea

"Estudiar una función" es seguir un procedimiento sistemático para entender cómo se comporta: dónde está definida, dónde crece, dónde decrece, qué máximos y mínimos tiene, qué imagen tiene, asíntotas, etc.

Procedimiento estándar

1. Dominio: identificás dónde la función está definida.
2. Asíntotas: vertical, horizontal y/o oblicua.
3. Calculás f'(x).
4. Puntos críticos: f'(x) = 0 o f'(x) no existe. Descartás los que no estén en el dominio.
5. Signo de f': hacés tabla de signos. Donde f' > 0, la función crece; donde f' < 0, decrece.
6. Extremos por cambio de signo (criterio de la primera derivada).
7. Imagen: la inferís de los extremos y los límites en los bordes del dominio / en infinito.

Crecimiento y decrecimiento

Criterio de la primera derivada (extremos)

Criterio de la segunda derivada (alternativo)

Si f'(x₀) = 0 y f''(x₀) > 0 → mínimo. Si f''(x₀) < 0 → máximo. Si f''(x₀) = 0, este criterio no decide; usás el de primera.

Cálculo de la imagen

Una vez que conocés extremos y comportamiento en los bordes (±∞ o donde el dominio termina), podés inferir la imagen.

Concavidad

El signo de la segunda derivada indica concavidad:

• f'' > 0: cóncava hacia arriba (sonrisa, ∪).
• f'' < 0: cóncava hacia abajo (mueca, ∩).
• Donde cambia el signo de f'' (y f'' es continua) hay un punto de inflexión.

Diferencia con extremos locales

• Extremo local (relativo): mejor o peor valor "en una vecindad" del punto.
• Extremo absoluto (global): mejor o peor valor en TODO el intervalo considerado.

Teorema de Weierstrass

Es una garantía de existencia: bajo continuidad y intervalo cerrado, los extremos absolutos existen.

Procedimiento para hallar los absolutos

En un intervalo [a, b], los candidatos a extremo absoluto son:

1. Los extremos del intervalo: a y b.
2. Los puntos críticos interiores: x ∈ (a, b) donde f'(x) = 0 o f' no existe.

Evaluás f en todos esos puntos. El mayor es el máximo absoluto, el menor el mínimo absoluto.

Modelo de aplicación: optimización

Muchos problemas "del mundo real" se reducen a maximizar o minimizar una función en un intervalo. La técnica es la misma: derivar, encontrar los críticos, evaluar.

La estructura del parcial Cabana

El parcial siempre tiene 5–6 ejercicios y suma 10 puntos. El último ejercicio es SIEMPRE un estudio de función completo y vale 4 puntos (40% del parcial).

El menú es fijo: hay 9 tipos de problemas y el parcial elige 5–6 de esa lista. Aprendete a reconocer los 9 tipos en 10 segundos: ese es el secreto de la cátedra.

Las 3 preguntas que te tenés que hacer ANTES de empezar

Pregunta 1 — ¿De qué tipo es?

Mirá el verbo y los objetos clave del enunciado. Cada palabra dispara una receta:

Pregunta 2 — ¿Qué información tengo gratis?

Hacé un inventario antes de calcular. Por ejemplo:

• "Me dieron la tangente y = 3x + 1" → tengo gratis f'(1) = 3 y f(1) = 4.
• "Me dieron dominio [1, e]" → en este intervalo Weierstrass aplica.
• "Me dieron f(0) = 4a − 15" → tengo que calcular el límite e igualar.

Anotá esos datos al margen. La mitad del ejercicio sale solo de "ordenar" la información.

Pregunta 3 — ¿Dónde está la indeterminación o el ruido?

• ¿El reemplazo directo da 0/0, ∞/∞, 1^∞?
• ¿Hay un parámetro que controla algo?
• ¿Hay un punto fuera del dominio?
• ¿Hay un quiebre en la función partida?

Reconocer el "ruido" te dice qué técnica aplicar.

Los 4 notables imprescindibles

Si no los tenés en la cabeza, escribilos en una hoja al empezar el parcial:

La forma del e (1^∞)

Tabla de derivadas mínima

Reglas de derivación

Fórmula de la tangente

Si te dan la tangente ya calculada, leéla al revés: la pendiente es f'(x₀), y al pasar el x₀ obtenés f(x₀).

Aparece en el 100% de los parciales

Es el último ejercicio, vale 4 puntos. Te dan una sola función con incisos: asíntotas / crecimiento / extremos / imagen.

La receta de 7 pasos (en este orden)

1. Dominio.
2. Asíntotas (vertical, horizontal, oblicua).
3. Calcular f'(x).
4. Puntos críticos: f'(x) = 0, filtrar por dominio.
5. Signo de f' por intervalos.
6. Extremos por cambio de signo.
7. Imagen: valores en críticos + límites en bordes del dominio.

El truco para analizar el signo de f'

Siempre factorizá f' como producto/cociente de factores. Después separá:

• Factores con signo constante (cuadrados, exponenciales): NO aportan signo.
• Factores que cambian de signo: SÍ analizás.

Cómo encontrar la imagen

La imagen es el conjunto de valores que la función toma. Para mapearla necesitás:

• Los valores en los puntos críticos (techos y pisos locales).
• Los límites en los bordes del dominio (a dónde se va al infinito o al borde).

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 4 ej 5

Función: f(x) = 6x/(16x² + 1). Estudio completo.

Paso 1 (Dominio): denominador 16x² + 1 siempre positivo → Dom = ℝ.

Paso 2 (Asíntotas):

• AV: ninguna.
• AH: lim_±∞ 6x/(16x²+1) = 0 (grado abajo > arriba) → y = 0.

Paso 3 (Derivada):

Paso 4 (Críticos): x = ±1/4. Ambos en el dominio ✓.

Paso 5 (Signo): denominador siempre positivo. El signo lo dan (1 − 4x) y (1 + 4x):

Paso 6 (Extremos): en x = −1/4 mínimo (−→+); en x = 1/4 máximo (+→−).

Paso 7 (Imagen): f(−1/4) = −3/4, f(1/4) = 3/4. Imagen = [−3/4, 3/4].

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 5 ej 5

Función: f(x) = √x · e^−36x²+2.

Dominio: x ≥ 0 → [0, +∞).

AH: lim_x→+∞ √x/e^36x²−2 = 0 (la exponencial le gana a la raíz). y = 0.

Derivada (producto + cadena): f'(x) = e^−36x²+2 · (1 − 144x²)/(2√x).

Críticos: 1 − 144x² = 0 → x = ±1/12. Solo x = 1/12 está en el dominio.

Signo: e^... y 2√x siempre positivos. Signo dado por 1 − 144x²:

• En (0, 1/12): positivo → crece.
• En (1/12, +∞): negativo → decrece.

Extremo: en x = 1/12 hay máximo absoluto.

Imagen: f(0) = 0 (alcanzado), máximo en f(1/12) alcanzado, lim_+∞ = 0 no alcanzado. Imagen = [0, f(1/12)].

Funciones típicas que se repiten en parciales

Aparece en el ~89% de los parciales

Te dan una función partida con parámetro y piden el valor que la hace continua en el punto de empalme.

Las señales

Estructura del enunciado:

La receta de 3 pasos

1. Calcular lim_x→x0 de la primera rama.
2. Igualar ese límite a la rama con parámetro evaluada en x₀.
3. Despejar el parámetro.

Cómo identificar la técnica para el límite

Ejemplo trabajado · Parcial 28/04/2025 ej 4

Función: f(x) = (cos(5x) − 1)/x² si x ≠ 0; f(0) = k − 1/2. Hallar k.

Paso 1 (Límite): reemplazando da 0/0.

Camino A · L'Hôpital dos veces:

Camino B · notable: Recordá que (1 − cos u)/u² → 1/2. Reescribís:

Paso 2 (Igualar): k − 1/2 = −25/2.

Paso 3 (Despejar): k = −12.

Ejemplo trabajado · Parcial 07/05/2024 Tema 1 ej 1

Función: f(x) = ln(1+x²)/(e^x² − 1) si x ≠ 0; f(0) = 2a − 3. Hallar a.

Atajo con notables: sustituyo u = x² que tiende a 0:

Igualar: 2a − 3 = 1 → a = 2.

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 1 ej 2

Función: f(x) = a·sen²(ax)/x² con f(0) = 64. Hallar a.

Reescribís: a · sen²(ax)/x² = a · (sen(ax))²/x² = a · (sen(ax)/x)² = a · (a · sen(ax)/(ax))² → a · a² = a³.

Igualar: a³ = 64 → a = 4.

Aparece en el ~89% de los parciales

Las dos variantes principales

• Variante 1: "Sé algo sobre f (su tangente). Construyo h con f adentro. ¿Cuánto vale h' y/o la tangente de h?"
• Variante 2: "Calcular la tangente a f en x₀" (más directa).

El primer paso CRUCIAL: leer la tangente

Si te dicen "la tangente a f en x₀ es y = mx + b", anotá inmediatamente:

• f'(x₀) = m — la pendiente es la derivada.
• f(x₀) = m·x₀ + b — la tangente toca al gráfico en ese punto.

La cadena: la lógica

Para h(x) = c + f(g(x)):

¿Por qué? Si "movés x un poquito", primero g se mueve a velocidad g'(x), y después f amplifica con su propia velocidad f'(g(x)). La velocidad total es el producto.

El truco del "argumento que cierra"

Ejemplo trabajado · Parcial 28/04/2025 ej 3

Tangente a f en x₀ = 1 es y = 3x + 1. h(x) = 3 + f(7x + e^x). Hallar h'(0) y la tangente a h en x = 0.

Leer tangente: f'(1) = 3, f(1) = 3·1 + 1 = 4.

Derivar h con cadena: h'(x) = f'(7x + e^x) · (7 + e^x).

Evaluar argumento en x = 0: 7·0 + e⁰ = 1 ✓ cierra con el x₀ = 1.

Calcular h'(0): h'(0) = f'(1) · 8 = 3 · 8 = 24.

Tangente a h:

• h(0) = 3 + f(1) = 3 + 4 = 7.
• Pendiente: 24.
• Ecuación: y − 7 = 24x → y = 24x + 7.

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 1 ej 3

Tangente a f en x = 1 es y = 4x − 2. h(x) = ln(f(x)) + e^sen(x−1). Hallar h'(1).

Leer tangente: f'(1) = 4, f(1) = 2.

Derivar h término a término:

Evaluar en x = 1:

• Primer término: f'(1)/f(1) = 4/2 = 2.
• Segundo: e^{sen 0} · cos 0 = 1 · 1 = 1.
• h'(1) = 3.

Ejemplo trabajado · Parcial 07/05/2024 Tema 2 ej 3 (variante directa)

f(x) = 2e^x−1 + sen(1−x) − 3x·ln(2x−1). Tangente en x = 1.

f(1): 2e⁰ + sen 0 − 3·ln 1 = 2 + 0 − 0 = 2.

f'(x) término a término:

• 2e^x−1 → derivada 2e^x−1.
• sen(1−x) → cadena: cos(1−x)·(−1) = −cos(1−x).
• −3x·ln(2x−1) → producto: −3[ln(2x−1) + x·2/(2x−1)].

En x = 1: 2 − 1 − 3[0 + 2] = 2 − 1 − 6 = −5.

Tangente: y − 2 = −5(x − 1) → y = −5x + 7.

El árbol de decisión completo

Por qué cada técnica funciona

Factorización

Si numerador y denominador se anulan en x = a, ambos tienen (x − a) como factor. Lo cancelás y la indeterminación desaparece.

Conjugado

(√a − √b)(√a + √b) = a − b. Sirve para "matar" raíces, convirtiendo restas en cosas limpias.

Término dominante

Cuando x → ∞, lo único que importa es el término que crece más rápido. Los demás se vuelven despreciables.

Notables

Salen del polinomio de Taylor cerca de 0:

• sen x ≈ x → sen x / x → 1
• 1 − cos x ≈ x²/2 → (1 − cos x)/x² → 1/2
• e^x ≈ 1 + x → (e^x − 1)/x → 1
• ln(1+x) ≈ x → ln(1+x)/x → 1

L'Hôpital

f/g → f'/g' cuando da 0/0 o ∞/∞. Es un teorema, no un atajo. Solo aplica con esas formas.

Ejemplo trabajado · Parcial 28/04/2025 ej 2 (∞ − ∞)

Calcular lim_x→+∞ √(x² + 12x) − √(x² + 13).

Reconocer: ∞ − ∞ con raíces → conjugado.

Ahora ∞/∞. Sacar x factor común:

Ejemplo trabajado · Parcial 12/11/2024 ej 5 (con tangente!)

Tangente a f en x = 1 es y = 3x + 2. Calcular lim_x→1 [f(4x − 3) − 5]/(x² − 1).

Datos gratis: f'(1) = 3, f(1) = 5.

Reemplazar: [f(1) − 5]/(1 − 1) = 0/0 ✓.

L'Hôpital (cadena en numerador):

Reemplazar en x = 1: argumento 4·1 − 3 = 1 → cierra con f'(1) = 3.

Ejemplo trabajado · Parcial 02/05/2023 ej 2 (0/0 con raíces)

lim_x→3 (2x − 6)/(4√(x+1) − 8).

Da 0/0. Conjugado (4√(x+1) + 8):

Aparece en ~44% de los parciales

Las señales

• Intervalo cerrado y acotado [a, b].
• "Máximo absoluto" / "mínimo absoluto" en el enunciado.
• Función continua (casi siempre lo es).

La lógica de Weierstrass

Si la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos EXISTEN. Tu trabajo es solo encontrarlos. Y solo hay 3 lugares posibles:

1. El borde izquierdo x = a.
2. El borde derecho x = b.
3. Un crítico interior (donde f'(x) = 0 o f' no existe), y que esté en (a, b).

La receta

1. Calcular f'(x).
2. Resolver f'(x) = 0.
3. Filtrar: solo los críticos en (a, b) cuentan.
4. Evaluar f en TODOS los candidatos: a, b, y los críticos válidos.
5. El mayor valor es el máximo absoluto, el menor el mínimo.

Ejemplo trabajado · Parcial 28/04/2025 ej 1

f(x) = 2x² − 9·ln(x) en [1, e].

Derivada: f'(x) = 4x − 9/x.

Críticos: 4x = 9/x → 4x² = 9 → x = ±3/2. Descarto −3/2 (no en dominio de ln). x = 3/2 está en (1, e) ✓ (e ≈ 2,72).

Evaluar:

Conclusión: mínimo en x = 3/2, máximo en x = e (en el borde, no en el crítico).

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 5 ej 4

f(x) = 15x + 80/x³ en [1, 3].

Derivada: f'(x) = 15 − 240/x⁴.

Críticos: 15 = 240/x⁴ → x⁴ = 16 → x = ±2. Solo x = 2 en (1, 3).

Evaluar:

• f(1) = 15 + 80 = 95
• f(2) = 30 + 10 = 40
• f(3) = 45 + 80/27 ≈ 47,96

Conclusión: máximo en x = 1, mínimo en x = 2.

TIPO 6 · Forma del número e

Las señales

• Límite con base que tiende a 1 y exponente que tiende a infinito.
• Resultado típico es e^k (a veces te dan el resultado y piden hallar un parámetro).

La fórmula maestra

La receta

1. Reescribir la base como 1 + α(x), donde α → 0.
2. Identificar α(x) y β(x).
3. Calcular lim α·β (suele ser cociente de polinomios).
4. Resultado: e elevado a ese límite.

Truco para reescribir la base

Si tenés (x²+a)/(x²−b), restás y sumás b en el numerador:

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 5 ej 1

Hallar a tal que lim_x→+∞ [(x²+a)/(x²−6)]^2x²+1 = e⁶.

Reescribir: (x²+a)/(x²−6) = 1 + (a+6)/(x²−6).

Identificar: α = (a+6)/(x²−6) → 0, β = 2x²+1 → ∞.

Calcular α·β: (a+6)(2x²+1)/(x²−6). Grados iguales (cuadráticos): tiende a 2(a+6).

Igualar: e^2(a+6) = e⁶ → 2(a+6) = 6 → a = −3.

Ejemplo trabajado · Parcial 07/05/2024 Tema 2 ej 2

Calcular lim_x→+∞ [(x²−1)/(x²−5)]^2x²+1.

Reescribir: (x²−1)/(x²−5) = 1 + 4/(x²−5).

α·β: 4(2x²+1)/(x²−5) → 8.

Resultado: e⁸.

TIPO 7 · Cociente incremental

Variante 1: calcular f'(x₀) por definición

Cuando la función está partida en x₀ y no se puede usar la regla normal:

Variante 2: hallar parámetro para que sea derivable

1. Calcular cociente incremental por izquierda: lim_h→0⁻.
2. Calcular cociente incremental por derecha: lim_h→0⁺.
3. Igualar (los laterales deben coincidir).
4. Despejar el parámetro.

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 1 ej 4

f(x) = sen²(x)/(2x) si x ≠ 0; f(0) = 0. Hallar f'(0).

Ejemplo trabajado · Parcial 12/11/2024 ej 1

f(x) = (cos(6x) − 1)/x si x > 0; f(x) = kx si x ≤ 0. Hallar k para que sea derivable en todo ℝ.

Por derecha:

(Notable: −(1 − cos(6h))/(6h)² · 36 → −1/2 · 36 = −18.)

Por izquierda: lim_h→0⁻ kh/h = k.

Igualar: k = −18.

TIPO 8 · Asíntotas como ejercicio aparte

Receta rápida

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 1 ej 1

f(x) = (5x³ + 15x²)/(x² − 9). Asíntotas.

Factorizar: 5x³ + 15x² = 5x²(x+3), x² − 9 = (x−3)(x+3).

AV candidatos: x = ±3.

• x = 3: lim = 5·9/0 = ±∞ → AV en x = 3.
• x = −3: usando la simplificada, 5·9/(−6) = −15/2 finito → NO es AV (es agujero).

AH: lim_x→∞ 5x²/(x−3) = +∞. No hay AH.

AO:

AO: y = 5x + 15.

TIPO 9 · Derivada implícita

La regla mágica

Cuando derivás algo con y, recordás que y depende de x y aplicás cadena. Aparece multiplicado por y'.

Ejemplo trabajado · Parcial 23/09/2024 Tema 5 ej 3

g(0) = π/3, cos(g(x)) = 2x − √(x² + 5x + 4). Hallar g'(0).

Derivar ambos lados:

• Lado izq (cadena): −sen(g(x)) · g'(x).
• Lado der: 2 − (2x + 5)/[2√(x² + 5x + 4)].

Evaluar en x = 0:

• Izq: −sen(π/3) · g'(0) = −(√3/2)·g'(0).
• Der: 2 − 5/(2·2) = 2 − 5/4 = 3/4.

Despejar: g'(0) = (3/4) · (−2/√3) = −√3/2.

El día del parcial — checklist mental

1. Antes de empezar: escribí en una hoja los 4 notables, la fórmula del e y la fórmula de la tangente.
2. Para cada ejercicio:
   • 5 segundos: identificá el TIPO con las palabras clave.
   • 30 segundos: anotá la información gratis (datos de la tangente, dominio del enunciado, etc.).
   • 30 segundos: identificá el "ruido" — la indeterminación, el parámetro, el punto crítico.
   • Después: ejecutá la receta del tipo.

Errores que NO podés cometer

• Calcular un crítico fuera del dominio y tratarlo como válido.
• Olvidar evaluar en los bordes en máx/mín absolutos.
• Aplicar L'Hôpital a algo que NO es indeterminación.
• En la tangente, olvidar el término independiente h(0).
• Confundir imagen con dominio.

Práctica · 6 ejercicios cada uno mapeado a un tipo

Resolvelos a mano en orden. Después marcá la respuesta en el quiz para verificar.

Ejercicio 1 (TIPO 6)

Hallar a tal que lim_x→+∞ [(x²+a)/(x²−6)]^2x²+1 = e⁴.

Ejercicio 2 (TIPO 2)

f(x) = (1 − cos(2x))/x² si x ≠ 0; f(0) = k. Hallar k.

Ejercicio 3 (TIPO 5)

f(x) = 15x + 80/x³ en [1, 3]. ¿Dónde están el máximo y mínimo absolutos?

Ejercicio 4 (TIPO 3)

Tangente a f en x₀ = 1 es y = 8x − 6. h(x) = ln(f(x)) + e^sen(x−1). Hallar h'(1).

Ejercicio 5 (TIPO 1)

f(x) = x² + 2/x. Calcular: dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento/decrecimiento, extremos, imagen.

Ejercicio 6 (TIPO 1 + 8)

f(x) = e^2x/(9x² + 2). Estudio completo.

¿Qué es un vector?

Un vector es una lista ordenada de números. En la práctica, lo usamos para dos cosas:

• Representar puntos: el vector (3, 2) puede ser el punto del plano con coordenadas x = 3, y = 2.
• Representar desplazamientos: el vector (3, 2) también puede significar "moverse 3 a la derecha y 2 arriba". En este caso se suele dibujar como una flecha con cola en el origen y punta en (3, 2).

Los vectores viven en espacios llamados ℝⁿ:

• ℝ²: pares ordenados (x, y), como los puntos del plano.
• ℝ³: ternas (x, y, z), como los puntos del espacio 3D.
• ℝ⁴, ℝ⁵, ...: no los podemos "dibujar" pero las reglas son las mismas.

Operaciones básicas: suma y producto por escalar

Son las dos operaciones más importantes. Ambas funcionan componente a componente:

Intuición geométrica: sumar vectores es "encadenar flechas" (ponés la cola de una donde termina la otra). Multiplicar por un escalar es estirar o encoger el vector: si k > 0 apunta en el mismo sentido, si k < 0 apunta al revés.

Vector nulo y vector opuesto

• El vector nulo es 0 = (0, 0, ..., 0). Es el "origen" de ℝⁿ.
• El opuesto de v es −v = (−v₁, ..., −v_n). Cumple v + (−v) = 0.

Norma (módulo o longitud) de un vector

La norma ‖v‖ mide qué tan "largo" es el vector (la longitud de la flecha). Se calcula usando el teorema de Pitágoras generalizado:

Vectores unitarios y versor asociado

Un vector es unitario si ‖v‖ = 1. Dado cualquier v ≠ 0, el versor asociado (vector unitario en la misma dirección) es:

Producto escalar (o producto punto)

El producto escalar entre dos vectores da un número (no un vector). Tiene dos formas equivalentes:

donde θ es el ángulo entre los dos vectores. La primera fórmula es para calcular, la segunda para entender qué significa.

Ortogonalidad (perpendicularidad) · muy frecuente en parciales

La idea: si el coseno del ángulo es cero, el ángulo es de 90°. Es la traducción algebraica de "perpendicular".

Paralelismo

Es decir, uno es múltiplo escalar del otro. Apuntan en la misma dirección (si k > 0) o en dirección opuesta (si k < 0).

Problema: vector paralelo con norma dada

Problema muy típico de parcial: dado un vector v, hallar otro vector w que sea paralelo a v y con norma específica n.

Producto vectorial (solo en ℝ³)

El producto vectorial v × w es una operación que solo existe en ℝ³ y devuelve un vector, no un número.

¿Qué describe una recta?

Una recta es el conjunto de todos los puntos que están en una línea. Para describirla con precisión necesitás dos cosas:

• Un punto P por el que pasa.
• Una dirección d (un vector que indica hacia dónde va).

Ecuación paramétrica de la recta

Interpretación: "parto del punto P y me muevo una cantidad λ en la dirección d". Cuando λ recorre todos los reales, obtengo todos los puntos de la recta.

Recta que pasa por dos puntos

Si te dan dos puntos A y B:

1. La dirección es d = B − A (el vector que va de A a B).
2. Usás cualquiera de los dos como base: L: (x,y,z) = λ·(B − A) + A.

¿Qué describe un plano?

Un plano es una "lámina infinita y plana" en el espacio. Para describirlo necesitás:

• Un punto P que pertenece al plano.
• Dos direcciones u, v paralelas al plano (y que no sean paralelas entre sí).

Alternativamente, podés describir el plano con un punto y un vector normal (perpendicular al plano).

Ecuación paramétrica del plano

Con dos parámetros en lugar de uno, porque un plano es bidimensional.

Ecuación implícita (o normal) del plano · muy usada

Los coeficientes (a, b, c) son el vector normal al plano (perpendicular). El valor d lo obtenés reemplazando un punto conocido.

Obtener la normal a un plano

Si conocés dos vectores u, v del plano, el producto vectorial te da la normal:

¿Un punto está en la recta o el plano?

Recta: intentás encontrar un valor de λ que dé el punto. Si existe, sí está. Si no, no.

Plano: reemplazás las coordenadas del punto en la ecuación implícita. Si se cumple, pertenece.

Posición relativa entre dos rectas · muy frecuente

Dadas dos rectas en ℝ³, puede pasar que:

Distancia punto-recta (en ℝ²)

Si la recta está en forma implícita ax + by + c = 0 y el punto es P = (x₀, y₀):

Distancia punto-plano (en ℝ³)

Mismo formato pero con tres variables. Para plano ax + by + cz + d = 0 y punto (x₀, y₀, z₀):

Proyecciones y simetrías · muy frecuente en parciales

Esta sección cubre la sección 2.6 del libro de Escayola (págs. 72–78). Aparece en todos los primeros parciales — al menos un ejercicio sobre proyección o simétrico, en muchos casos los dos.

Proyección ortogonal de un vector sobre otro

"Proyectar" v sobre u es la sombra perpendicular que v arroja sobre la dirección de u.

Resultado: un vector paralelo a u cuya magnitud es la "sombra" de v sobre u. Si v y u son ortogonales, la proyección es el vector cero.

Proyección ortogonal de un PUNTO sobre una RECTA · receta paso a paso

Esta es la versión que aparece en todos los primeros parciales. Te dan un punto P y una recta L: X = λ·d + P₀; tenés que encontrar el punto A ∈ L tal que P − A ⊥ d.

Proyección ortogonal de un punto sobre un PLANO · receta

Si te dan P y un plano π: ax + by + cz = d, el proyectado A = "pie de la perpendicular" se halla así:

Caracterización geométrica (la "trampa" del parcial)

Simétrico respecto a un punto, recta o plano

El simétrico es el "reflejo": el espejo está en el punto, recta o plano dado.

Simétrico respecto a un punto Q

El simétrico P' de P respecto a Q es tal que Q es el punto medio entre P y P':

Simétrico respecto a una recta L (o plano π) · receta

Estrategia universal: el simétrico es A' = 2A − P, donde A es la proyección de P sobre L (o π).

Simétrico respecto a los ejes coordenados (atajo)

Aplicación · halle un punto Q tal que el simétrico de P respecto a Q es P'

De la fórmula P' = 2Q − P, se despeja: Q = (P + P') / 2. Q es el punto medio.

¿Qué es un subespacio?

Un subespacio vectorial de ℝⁿ es un subconjunto S que se comporta "bien" con la suma y el producto por escalar: si hacés operaciones entre vectores de S, el resultado sigue en S.

Intuitivamente, en ℝ³ los subespacios son:

• Solo el origen {(0, 0, 0)} (dimensión 0).
• Cualquier recta que pase por el origen (dimensión 1).
• Cualquier plano que pase por el origen (dimensión 2).
• Todo ℝ³ (dimensión 3).

Una recta que NO pasa por el origen, por ejemplo, no es subespacio.

Definición formal

S ⊆ ℝⁿ es subespacio si cumple 3 condiciones:

1. El cero está: 0 ∈ S.
2. Cerrado por suma: si u, v ∈ S, entonces u + v ∈ S.
3. Cerrado por producto por escalar: si u ∈ S y k ∈ ℝ, entonces k·u ∈ S.

Combinación lineal

Una combinación lineal de los vectores v₁, v₂, ..., v_k es cualquier expresión de la forma:

donde los α_i son números reales cualesquiera.

Problema: ¿un vector es combinación lineal de otros?

Subespacio generado

Dado un conjunto de vectores {v₁, ..., v_k}, el subespacio generado por ellos —notado <v₁, ..., v_k>— es el conjunto de todas sus combinaciones lineales. Siempre es subespacio.

Independencia y dependencia lineal

Los vectores {v₁, ..., v_k} son:

• Linealmente independientes (L.I.) si la única combinación que da el vector nulo es la trivial (todos los coeficientes cero):
  α₁v₁ + ... + α_kv_k = 0 ⟹ α₁ = ... = α_k = 0.
• Linealmente dependientes (L.D.) si existe alguna combinación no trivial que da cero. Equivalentemente: alguno de los vectores es combinación lineal de los otros.

Base y dimensión · muy frecuente en parciales

Una base de un subespacio S es un conjunto de vectores que:

1. Son linealmente independientes.
2. Generan S (cualquier vector de S es combinación lineal de ellos).

La dimensión de S es la cantidad de vectores de cualquier base de S (todas las bases tienen la misma cantidad).

Subespacios dados por ecuaciones

Formato muy típico: S = {(x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ : condición(es)}.

¿Cómo extender un conjunto L.I. a una base?

Si tenés vectores L.I. en ℝⁿ pero te faltan para formar una base, podés agregar vectores canónicos hasta llenar.

¿Qué son las cónicas?

Las cónicas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Según el ángulo del corte se obtienen:

• Circunferencia: corte horizontal.
• Elipse: corte inclinado.
• Parábola: corte paralelo a un lado del cono.
• Hipérbola: corte que atraviesa ambas partes del cono.

También se pueden definir de forma puramente geométrica como lugares geométricos (conjunto de puntos que cumplen una condición).

Circunferencia

Definición geométrica: conjunto de puntos del plano que están a distancia constante (llamada radio, r) de un punto fijo (llamado centro, (h, k)).

Ecuación canónica

Sale directo de imponer que la distancia entre (x, y) y (h, k) sea r.

Ecuación general

Para pasar de general a canónica (y así identificar centro y radio), se completan cuadrados.

Elipse

Definición geométrica: conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (los focos, F₁ y F₂) es constante.

Ecuación canónica (centrada en (h, k))

Elementos importantes

• Centro: (h, k).
• Semieje mayor: a (el más grande, va en la dirección del eje mayor).
• Semieje menor: b.
• Distancia del centro al foco: c, con c² = a² − b² (la a es la grande).
• Focos: ubicados a distancia c del centro sobre el eje mayor.
• Vértices: extremos del eje mayor, a distancia a del centro.
• Excentricidad: e = c/a, siempre entre 0 y 1. Si e = 0, es circunferencia (a = b).

Hipérbola · muy frecuente en parciales

Definición geométrica: conjunto de puntos cuya diferencia (en valor absoluto) de distancias a dos focos es constante.

Ecuación canónica

La diferencia con la elipse es el signo menos. Y ahora el "primero" (el término positivo) es el que dice la orientación.

Elementos importantes

• Centro: (h, k).
• Distancia al foco: c² = a² + b² (ojo, es suma en la hipérbola, resta en la elipse).
• Vértices: a distancia a del centro en el eje de apertura.
• Asíntotas: rectas a las que se acerca la hipérbola pero no toca. Para la hipérbola horizontal:

Comparación elipse vs hipérbola · tabla integradora

Parábola · muy frecuente en parciales

Definición geométrica: conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz).

Elementos

• Vértice: V = (h, k). Punto medio entre foco y directriz.
• Foco: F.
• Directriz: recta perpendicular al eje de simetría.
• Parámetro p: distancia del vértice al foco (= distancia del vértice a la directriz).
• Distancia foco–directriz: siempre es 2·|p|.

Ecuación canónica

Armar parábola conociendo foco y directriz · ejercicio clásico

¿Qué es un sistema lineal?

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones donde las incógnitas aparecen solo con exponente 1 (sin potencias, ni raíces, ni multiplicadas entre sí).

Matrices: la forma compacta

Un sistema lineal se puede escribir de forma matricial como A·x = b:

Para el ejemplo anterior:

Sistemas homogéneos vs no homogéneos

• Homogéneo: A·x = 0 (términos independientes todos cero). Siempre tiene al menos la solución trivial x = 0.
• No homogéneo: A·x = b con b ≠ 0. Puede tener solución, no tener, o tener infinitas.

Clasificación de sistemas · muy frecuente

donde n es el número de incógnitas y "rango" es la cantidad de filas no nulas en la matriz escalonada.

Método de eliminación de Gauss · principal método del curso

El método para resolver sistemas consiste en "limpiar" la matriz ampliada (A|b) usando operaciones por filas, sin cambiar las soluciones.

El objetivo es llegar a la forma escalonada, donde cada fila empieza con más ceros que la anterior, y después se resuelve "de abajo hacia arriba" (sustitución hacia atrás).

Sistemas con parámetros · clásico de parcial

A veces el sistema depende de un parámetro (k, a, m...) y hay que discutir para qué valores es SCD, SCI o SI. La idea es escalonar como siempre y ver qué pasa según el valor del parámetro.

Operaciones con matrices

Suma y producto por escalar

Igual que con vectores, componente a componente. Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

Producto de matrices

Para calcular A·B, la cantidad de columnas de A debe coincidir con la cantidad de filas de B.

Matriz identidad y traspuesta

• Identidad I_n: matriz n×n con 1 en la diagonal y 0 en el resto. Cumple I·A = A·I = A (cuando las dimensiones permiten).
• Traspuesta A^T: se obtiene intercambiando filas por columnas. Si A es m×n, A^T es n×m.

Determinante · muy frecuente en parciales

El determinante es un número que se asigna a cada matriz cuadrada. Da información sobre si la matriz es inversible, sobre el volumen del "paralelepípedo" que generan sus columnas, y sobre la clasificación del sistema asociado.

Fórmula para 2×2

Fórmula para 3×3 (regla de Sarrus)

Para matriz [[a₁₁, a₁₂, a₁₃], [a₂₁, a₂₂, a₂₃], [a₃₁, a₃₂, a₃₃]]:

Truco visual de Sarrus: copiás las dos primeras columnas a la derecha, y hacés tres diagonales descendentes (suman) y tres ascendentes (restan).

Desarrollo por cofactores (general)

Se puede calcular "desarrollando" por una fila o columna. Para una 3×3 por la primera fila:

donde M_ij es el determinante de la submatriz 2×2 que queda al tachar la fila i y la columna j.

Propiedades del determinante · se preguntan mucho

Matriz inversa

Una matriz cuadrada A es inversible si existe A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I.

Fórmula para 2×2

Aplicación: resolver sistemas

Si A es inversible, el sistema A·x = b tiene única solución:

¿Qué es una transformación lineal?

Una transformación lineal es una función T: ℝⁿ → ℝ^m (del espacio de salida al de llegada) que respeta las dos operaciones: suma y producto por escalar.

La idea: "lo que T hace conmuta con las operaciones lineales".

Representación matricial

Todo TL T: ℝⁿ → ℝ^m se puede escribir como T(x) = A·x, donde A es una matriz m×n llamada matriz canónica de T.

Núcleo e imagen · MUY frecuente en parciales

Núcleo (kernel)

Son los vectores que se aplastan al cero. Siempre es un subespacio del dominio.

Imagen

Es un subespacio del codominio.

Teorema de las dimensiones · fundamental

Es el teorema más usado para resolver ejercicios sobre TL. Si conocés una de las dimensiones, sabés la otra.

Cómo calcular el núcleo

1. Planteás T(x) = 0, o sea A·x = 0.
2. Resolvés el sistema homogéneo (por Gauss).
3. Las soluciones forman un subespacio: el núcleo.

Cómo calcular la imagen

La imagen es el subespacio generado por las columnas de la matriz canónica. Para hallar una base, eliminás las columnas que son combinación lineal de las anteriores.

Inyectividad, sobreyectividad, biyectividad

Composición de TL

Si T: ℝⁿ → ℝ^m y S: ℝ^m → ℝ^p son TL, entonces S ∘ T también es TL. Su matriz canónica es el producto de las matrices:

Atención al orden: primero se aplica T, después S, pero la matriz que aplica primero va a la derecha en el producto.

TL inversa

Si T es biyectiva, tiene inversa T⁻¹, cuya matriz canónica es la inversa de la matriz canónica de T.

TL con parámetros · clásico de parcial

Tipo de ejercicio: te dan una TL con un parámetro (a, k, etc.) y te piden analizar para qué valores tiene cierta propiedad (núcleo de dimensión X, imagen = ℝⁿ, etc.). El método: armar la matriz canónica y estudiarla según el parámetro.

¿Qué son los números complejos?

Los números reales no alcanzan para resolver ciertas ecuaciones: por ejemplo, x² = −1 no tiene solución real (ningún cuadrado real es negativo). Se inventa el número i (unidad imaginaria) con la propiedad:

Un número complejo es cualquier expresión de la forma z = a + bi, con a, b ∈ ℝ.

• a es la parte real (Re(z)).
• b es la parte imaginaria (Im(z)).

El plano complejo

Cada número complejo z = a + bi se puede representar como un punto (a, b) del plano. El eje x se llama eje real y el eje y eje imaginario.

Tres formas de escribir un complejo

1. Forma binómica: z = a + bi

La más directa. Útil para sumas y restas.

2. Forma polar: z = r·(cos θ + i·sen θ)

Describe z por:

• Módulo r = |z| = √(a² + b²) (distancia al origen).
• Argumento θ = arg(z) (ángulo desde el eje real positivo, medido en sentido antihorario).

3. Forma exponencial: z = r·e^iθ

Es una notación compacta de la polar. Por la fórmula de Euler: e^iθ = cos θ + i sen θ.

Conversión entre formas

Operaciones básicas

Suma y resta (en binómica)

Producto (en binómica)

(Se expande como un binomio y se usa i² = −1.)

Producto y cociente (en polar/exponencial) · más fácil

Regla: módulos se multiplican/dividen, argumentos se suman/restan.

Conjugado

El conjugado de z = a + bi es z̄ = a − bi (cambia el signo de la parte imaginaria).

Fórmula de De Moivre (potencias) · muy frecuente

Para elevar un complejo a una potencia n, lo más cómodo es pasar a forma polar:

Raíces enésimas de un complejo

La ecuación zⁿ = w (con w ≠ 0) tiene exactamente n soluciones complejas distintas. Se obtienen por la fórmula:

donde r = |w| y θ = arg(w).

Ecuaciones con |z| y z̄ · clásico de Escayola

Tipo: "Si |z| ≠ 0 y z² + z̄·|z| = 0, hallar z".

¿Qué es un polinomio?

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

donde los a_i son números (llamados coeficientes) y n es un entero no negativo. Si a_n ≠ 0, decimos que el grado de P es n y a_n es el coeficiente principal.

Conjuntos de polinomios

• ℝ[x]: polinomios con coeficientes reales.
• ℚ[x]: polinomios con coeficientes racionales.
• ℂ[x]: polinomios con coeficientes complejos.

En los parciales de Álgebra A se trabaja mucho con ℚ[x] y ℝ[x]. La elección afecta qué raíces se "permiten" como raíces del polinomio en el sentido de sus factores con coeficientes de ese tipo.

División de polinomios · muy frecuente

Análoga a la división entera: dividir P(x) entre Q(x) da un cociente C(x) y un resto R(x) con:

El resto debe tener grado menor que el divisor.

Método clásico (a lo "Ruffini" generalizado)

1. Ordenás ambos polinomios por grado decreciente.
2. Completás con coeficientes 0 los términos faltantes.
3. Dividís el término de mayor grado del dividendo por el de mayor grado del divisor: eso da el primer término del cociente.
4. Multiplicás ese término por todo el divisor y lo restás al dividendo.
5. Repetís con el nuevo polinomio hasta que el grado sea menor que el del divisor.

Teorema del resto · clave

Es una consecuencia directa: si evaluás P(a) = Q(a)·C(a) + R, como Q(a) = 0, queda P(a) = R.

Raíces de un polinomio

Una raíz de P(x) es un valor a tal que P(a) = 0. Equivalentemente:

Multiplicidad de una raíz

Una raíz a tiene multiplicidad k si (x − a)^k divide a P(x) pero (x − a)^k+1 no. Por ejemplo, en P(x) = (x − 2)²·(x + 1), la raíz 2 tiene multiplicidad 2 (doble) y −1 multiplicidad 1 (simple).

Teorema fundamental del álgebra

Propiedades de las raíces según el "cuerpo"

En ℝ[x]: raíces complejas vienen en pares conjugados

Además, si z tiene multiplicidad k, z̄ también.

En ℚ[x]: raíces con radicales vienen de a pares también

Por ejemplo: si √5 es raíz de un polinomio de ℚ[x], también lo es −√5.

Factorización

Si conocés todas las raíces de P con sus multiplicidades, podés factorizarlo:

donde a_n es el coeficiente principal y m_i es la multiplicidad de la raíz r_i.

Factorización en ℝ[x]

En ℝ[x], un polinomio siempre se factoriza como producto de:

• Factores lineales (x − a) para raíces reales.
• Factores cuadráticos irreducibles (x² + px + q) con p² − 4q < 0 para pares de raíces complejas conjugadas.

Construir polinomio con raíces dadas · ejercicio clásico de parcial

Tipo típico: "Construí un polinomio de ℚ[x] (o ℝ[x]) de grado mínimo con ciertas raíces y un valor numérico dado".

La estructura del parcial Escayola

El parcial siempre tiene 8 ejercicios de opción múltiple, cada uno vale 1,25 puntos (total 10 puntos). Todos son de respuesta única. No hay desarrollo obligatorio: elegís la opción correcta.

Los 8 ejercicios cubren 5 sesiones temáticas: vectores (sesión 1), rectas y planos (sesión 3), subespacios y bases (sesión 4), cónicas (sesión 5). Sesión 2 no entra al 1° parcial.

Las 4 preguntas que te tenés que hacer al leer cada ejercicio

Pregunta 1 — ¿Qué tema es?

Pregunta 2 — ¿Qué fórmula dispara?

• Producto escalar: v · w = ‖v‖·‖w‖·cos(α)
• Norma: ‖v‖ = √(v₁² + v₂² + v₃²)
• Paralelo: w = k·v para algún k ≠ 0
• Distancia punto–plano: recta normal al plano, buscar intersección, medir
• Base: determinante ≠ 0 ↔ L.I. ↔ genera R³
• Cónicas: completar cuadrados para llevar a forma canónica

Pregunta 3 — ¿Tengo todos los datos?

En vectores: fijate si te dan norma, ángulo o coordenadas. En cónicas: identificá los coeficientes antes de completar cuadrados. En subespacios: verificá qué vectores hay que reemplazar en qué ecuación.

Pregunta 4 — ¿Puedo descartar opciones rápido?

El parcial tiene 4 opciones. En muchos ejercicios, 2 de las 4 tienen una característica obvia incorrecta. Por ejemplo, en "posición relativa de rectas": si los vectores directores son múltiplos → no son paralelas en ningún otro sentido. Eso elimina 2 opciones en 10 segundos.

Fórmulas imprescindibles

Aparece en el 100% de los parciales (2–3 ejercicios)

Los ejercicios de vectores son los más directos. La clave es saber qué fórmula aplicar y no confundir módulo con coordenadas.

Subtipo A: Producto escalar y ángulo

La fórmula clave une dos definiciones del producto escalar:

Si te dan coordenadas → calculás el producto por componentes. Si te dan normas y ángulo → usás la forma geométrica.

Subtipo B: Vector paralelo de norma dada

Si pedido que w es paralelo a v y tiene norma r, la receta es:

1. Escribís w = k·v.
2. Imponés ‖w‖ = ‖k·v‖ = |k|·‖v‖ = r.
3. Obtenés dos valores de k (positivo y negativo).
4. El enunciado te dice cuál usar (coordenada negativa, etc.).

Subtipo C: Punto medio y vector entre puntos

Si te dan que M es el punto medio entre los extremos de v y u:

Entonces: u = 2M − v (coordenada a coordenada).

Subtipo D: Dilatación + traslación

Te dan β·u + t = w con β desconocido, u y t y w conocidos. Despejás β resolviendo coordinada a coordenada.

Subtipo E: Vectores AB y CD con igual módulo (parámetro)

Calculás AB = B − A y CD = D − C, luego imponés ‖AB‖ = ‖CD‖. Sale una ecuación cuadrática en el parámetro.

Aparece en el 100% de los parciales (2 ejercicios)

Los temas son: distancia de punto a plano, distancia de punto a recta, posición relativa de dos rectas, posición relativa de recta y plano, simétrico respecto de un plano y posición relativa de dos planos.

Formas de escribir rectas y planos

Subtipo A: Distancia de punto a plano

Hay dos métodos equivalentes:

• Fórmula directa: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| / √(a²+b²+c²)
• Via recta normal: escribís la recta normal al plano que pasa por A, calculás su intersección con el plano (punto B), medís ‖AB‖.

El parcial siempre evalúa el método via recta normal (más explícito).

Subtipo B: Distancia de punto a recta

Método: escribís el plano que contiene al punto A y es normal a la recta, encontrás la intersección B entre la recta y ese plano, calculás ‖AB‖.

Subtipo C: Posición relativa de dos rectas

Los casos posibles son: paralelas, coincidentes, ortogonales, concurrentes (se cruzan o se cortan).

Subtipo D: Posición relativa de recta y plano

Reemplazás el punto genérico de la recta en la ecuación del plano. Si sale una ecuación con solución única en t → cortan en un punto. Si sale 0=0 → la recta está contenida. Si sale 0 = c ≠ 0 → paralelos.

Subtipo E: Simétrico de un punto respecto de un plano

Receta en 3 pasos:

1. Escribís la recta normal al plano que pasa por A.
2. Hallás el pie B = intersección entre la recta y el plano.
3. A' = 2B − A (coordenada a coordenada). B es el punto medio entre A y su simétrico.

Subtipo F: Posición relativa de dos planos

Si los normales son paralelos → paralelos o coincidentes. Si no → intersecan en una recta. Verificar perpendicularidad con producto escalar de normales.

Aparece en el 100% de los parciales (2 ejercicios)

Los dos ejercicios de subespacios son predecibles: uno pide base o generadores de un subespacio, y otro pide para qué k el conjunto no es base de R³.

Conceptos clave

Subtipo A: Para qué k el conjunto no es base de R³

Receta directa:

1. Formá la matriz con los vectores como filas.
2. Calculá el determinante en función de k.
3. Igualá a 0 (condición para que NO sea base).
4. Resolvés la ecuación cuadrática en k.
5. El enunciado te pide k con alguna restricción (k ∈ Z>0, k ∈ Z<0, etc.).

Subtipo B: Hallar parámetros del subespacio para que un conjunto sea su base

Te dan S con parámetros n y m, y te dan un conjunto A = {v₁, v₂} que supuestamente es base de S. Receta:

1. Reemplazás las coordenadas de v₁ en la primera ecuación de S (obtenés una ecuación en n o m).
2. Reemplazás las coordenadas de v₂ en la segunda ecuación de S (obtenés otra ecuación).
3. Resolvés el sistema.

Subtipo C: Generadores de un subespacio dado

Te dan S = {x ∈ R⁴ : condición} y 4 opciones de conjuntos. Tenés que identificar cuál genera S.

Estrategia: para cada opción, verificás que todos sus vectores satisfacen la condición de S, y que el conjunto tiene suficiente dimensión.

Subtipo D: Combinación lineal

Te dan vectores v₁, v₂ y te preguntan cuál de las opciones es combinación lineal de ellos. Tenés que verificar si existe α, β tal que α·v₁ + β·v₂ = w (sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas).

Aparece en el 100% de los parciales (2 ejercicios)

Las cónicas son la parte más "algebraica" del parcial. Siempre involucran completar cuadrados para llevar la ecuación a forma canónica, y luego leer los datos geométricos.

Repaso de formas canónicas

Subtipo A: Hallar el parámetro para que sea una cónica con centro dado

Completás cuadrados en función del parámetro y leés el centro de la forma canónica.

Subtipo B: Identificar cónica con excentricidad y focos

Con los focos podés hallar el centro (punto medio) y c. Con la excentricidad e = c/a despejás a. Luego b² = c² − a² (elipse) o b² = c² − a² ... espera, para hipérbola b² = c² − a² también... cuidado:

Subtipo C: Identificar cónica y completar cuadrados

Te dan una ecuación general ax² + bxy + cy² + ... = d y tenés que clasificarla y hallar sus elementos (centro, excentricidad, etc.).

Subtipo D: Parábola — foco y directriz

Subtipo E: Intersección de dos cónicas

Identificás cada cónica (circunferencia, elipse...), las graficás esquemáticamente y verificás si se intersecan.

Reconocer el tipo en menos de 30 segundos

En el parcial real, el tiempo es escaso. Entrenate en reconocer los tipos con solo leer el primer renglón del enunciado.

Los 4 errores más caros del parcial

Práctica integradora — 5 ejercicios variados

¿Qué es la programación?

La programación es la actividad de escribir instrucciones precisas que una computadora puede ejecutar para resolver un problema. La computadora es muy rápida pero completamente literal: hace exactamente lo que vos le decís, ni más ni menos. Si le decís algo ambiguo o mal, va a hacer cualquier cosa o tirar error.

Programar consiste en traducir una idea o procedimiento humano a un lenguaje que la computadora entienda. El "lenguaje" en este caso es un lenguaje de programación. En esta materia vas a usar Python.

¿Qué es un algoritmo?

Un algoritmo es una secuencia finita y ordenada de pasos para resolver un problema. La palabra clave es "preciso": cada paso debe ser entendible y ejecutable sin ambigüedad.

Un algoritmo puede existir sin computadoras: una receta de cocina, las instrucciones para armar un mueble, los pasos para resolver una cuenta a mano — todos son algoritmos.

¿Qué es un programa?

Un programa es un algoritmo escrito en un lenguaje de programación. Cuando programás, lo que hacés es:

1. Pensar el algoritmo (en español, en pseudocódigo, o con un esquema).
2. Traducirlo al código del lenguaje (Python, en este caso).
3. Ejecutarlo en la computadora para verificar que funcione.

Python: características clave

Python es uno de los lenguajes más populares del mundo. Tiene tres ventajas que lo hacen ideal para empezar:

• Sintaxis legible: el código se parece bastante al inglés y es fácil de leer.
• Interpretado: no hace falta "compilar" — la máquina ejecuta el código línea por línea al instante.
• Universal: se usa para ciencia de datos, IA, web, ingeniería, finanzas y mucho más.

print("Hola, mundo")

Este es el programa más chico que vas a escribir. La función print() muestra en pantalla el contenido entre paréntesis. En este caso, muestra el texto Hola, mundo.

Google Colab: dónde escribir y ejecutar Python

Para esta materia vas a usar Google Colab: un entorno web (no necesitás instalar nada) donde escribís y ejecutás Python. Lo abrís desde el navegador con tu cuenta de Google.

Variables

Una variable es un nombre que guarda un valor. La analogía clásica es la de una caja etiquetada: la etiqueta es el nombre, el contenido es el valor. Lo que metés en la caja es lo que la variable "vale".

edad = 25
nombre = "Ariel"
pi = 3.14159

print(edad)
print(nombre)
print(pi)

Después de esas líneas, "edad" vale 25, "nombre" vale el texto "Ariel", y "pi" vale 3.14159.

El signo = es asignación, NO igualdad

En matemática, "x = 5" significa "x es igual a 5". En programación, x = 5 significa "asigna el valor 5 a la variable x" — es una orden, no una afirmación.

Por eso esto, que en matemática sería raro, es perfectamente válido en Python:

x = 10
x = x + 5     # toma el valor actual de x (10), le suma 5, y lo guarda de nuevo en x
print(x)      # 15

Tipos primitivos (vista previa)

Cada valor en Python tiene un tipo. Los más comunes son:

• Entero (int): números sin coma. 5, -3, 0, 1000.
• Real (float): números con coma. 3.14, -0.5, 2.0.
• Cadena (str): texto, siempre entre comillas. "hola", 'Python'.
• Booleano (bool): verdadero o falso. True, False.

En la unidad 2 los vemos con detalle. Por ahora, lo importante: "123" no es lo mismo que 123. El primero es texto, el segundo es número.

print() en detalle

print() muestra cosas en pantalla. Se le puede pasar:

• Un solo valor: print(42) o print("hola").
• Varios separados por comas: print("Edad:", 25) imprime Edad: 25.
• Variables o expresiones: print(x + 1).

a = 5
b = 3
print("Suma:", a + b)        # Suma: 8
print("Mitad:", a / 2)       # Mitad: 2.5
print("Hola", "Mundo")       # Hola Mundo (los separa con espacio)

f-strings (formato de texto)

Para insertar variables dentro de un texto de manera elegante:

nombre = "Ariel"
edad = 30
print(f"Hola {nombre}, tenés {edad} años")
# Hola Ariel, tenés 30 años

Empezás con f" (o f') y dentro del texto, lo que va entre { } se reemplaza por el valor de la variable.

El intérprete de Python

Python es un lenguaje interpretado: la computadora lee el código línea por línea y lo ejecuta al momento. Eso es distinto de los lenguajes compilados (como C o C++) donde primero se traduce todo a un ejecutable y después se corre.

Ventaja de interpretado: probás cosas rápido. En Colab, cada celda es un bloque que ejecutás con Shift+Enter y ves el resultado al instante.

Comentarios

Los comentarios son texto que Python ignora. Sirven para explicar qué hace el código, dejar notas para vos o para quien lo lea.

# Esto es un comentario de una línea
x = 5   # también puede ir al final de una línea de código

# Para comentarios largos podés
# usar varias líneas con # cada una

Tipos de datos primitivos

Cada valor en Python tiene un tipo que determina qué operaciones podés hacer con él. Los cuatro tipos primitivos son:

La función type()

Te dice el tipo de un valor o variable:

type(5)        # <class 'int'>
type(3.14)     # <class 'float'>
type("hola")   # <class 'str'>
type(True)     # <class 'bool'>

x = 7.5
print(type(x))  # <class 'float'>

Conversiones de tipo (casting)

A veces necesitás convertir un valor de un tipo a otro. Las funciones de conversión se llaman como el tipo destino:

Operadores aritméticos

10 / 3     # 3.333333333... (float)
10 // 3    # 3              (entero, descarta decimales)
10 % 3     # 1              (resto)

# Verificación: cociente * divisor + resto = dividendo
3 * 3 + 1  # 10 ✓

Precedencia de operadores

Como en matemática, hay un orden de prioridad:

1. Paréntesis: lo de adentro primero.
2. Potencia **.
3. Multiplicación, división (*, /, //, %) — todas al mismo nivel.
4. Suma, resta (+, -) — al mismo nivel.

En cada nivel, se evalúa de izquierda a derecha. Si dudás del orden, usá paréntesis: hace el código más legible y evita errores.

2 + 3 * 4         # 14 (no 20: primero la multiplicación)
(2 + 3) * 4       # 20
2 ** 3 + 1        # 9 (primero potencia)
10 - 3 - 2        # 5 (10-3=7, 7-2=5: izquierda a derecha)

Operadores con strings

Algunos operadores funcionan también con texto:

"hola" + " " + "mundo"   # "hola mundo" (concatenación)
"abc" * 3                # "abcabcabc" (repetición)
"hola"[0]                # "h" (primer carácter)
len("hola")              # 4 (longitud)

Operadores relacionales (comparación)

Comparan valores y siempre devuelven un booleano (True o False).

Operadores lógicos

Combinan booleanos para hacer condiciones más complejas. Son and, or y not (en inglés).

Tablas de verdad

• and: verdadero si ambos son verdaderos. Si uno solo es falso, el resultado es falso.
• or: verdadero si al menos uno es verdadero. Solo es falso si los dos son falsos.
• not: invierte. not True es False, not False es True.

edad = 20
tiene_dni = True

# ¿Puede votar? Tiene que tener edad >= 16 Y tener DNI.
puede_votar = edad >= 16 and tiene_dni
print(puede_votar)   # True

# ¿Es menor o jubilado?
es_menor_o_jubilado = edad < 18 or edad >= 65
print(es_menor_o_jubilado)   # False

# ¿NO tiene edad?
print(not (edad >= 18))      # False (sí tiene)

Entrada del usuario: input()

La función input() pide datos al usuario y los devuelve como texto.

nombre = input("¿Cómo te llamás? ")
print("Hola,", nombre)

El argumento de input() es el "cartel" o prompt que se muestra. Lo que el usuario escribe se guarda en la variable.

Funciones

Una función es un bloque de código con nombre que hace una tarea específica. Es como una "mini-máquina" reutilizable: la definís una vez, la podés usar cuántas veces quieras.

¿Por qué usar funciones?

• Reutilización: escribís la lógica una vez y la llamás muchas.
• Claridad: el código se vuelve más legible si está organizado en funciones con nombres descriptivos.
• Testeo: podés probar cada función por separado.

Sintaxis

def nombre_funcion(parametros):
    # código de la función (indentado)
    return resultado

def doble(x):
    return x * 2

print(doble(5))    # 10
print(doble(7))    # 14
print(doble(-3))   # -6

# La función se evalúa cada vez que la llamás
total = doble(10) + doble(20)
print(total)       # 60

Partes de una función

Parámetros vs argumentos

• Parámetro: el nombre que aparece en la definición. def doble(x) tiene parámetro x.
• Argumento: el valor concreto que pasás cuando la llamás. doble(5) tiene argumento 5.

Funciones con múltiples parámetros

def sumar(a, b):
    return a + b

def area_rectangulo(base, altura):
    return base * altura

print(sumar(3, 7))               # 10
print(area_rectangulo(5, 4))     # 20

Funciones sin return

Si una función no tiene return, simplemente ejecuta sus instrucciones y devuelve None (que es la "nada" de Python). Se usa cuando la función no necesita devolver un valor pero hace algo útil (imprimir, modificar algo, etc.).

def saludar(nombre):
    print(f"Hola {nombre}!")

saludar("Ariel")    # imprime "Hola Ariel!"
x = saludar("Ana")  # imprime "Hola Ana!" y x queda con None

Variables locales y globales

Las variables definidas dentro de una función son locales: solo existen ahí adentro. Cuando la función termina, desaparecen.

def calcular():
    x = 10        # x es local
    return x * 2

resultado = calcular()
print(resultado)    # 20
# print(x)          # ❌ NameError: x no existe acá afuera

Indentación: lo más importante de Python

Templates de funciones típicas

def es_par(n):
    return n % 2 == 0

print(es_par(4))   # True
print(es_par(7))   # False

def es_vocal(letra):
    return letra in "aeiouAEIOU"

print(es_vocal("a"))    # True
print(es_vocal("z"))    # False

def division_y_resto(a, b):
    return a // b, a % b

c, r = division_y_resto(13, 4)
print(c, r)    # 3 1

¿Qué son las estructuras de control?

Por defecto, Python ejecuta el código de arriba hacia abajo, línea por línea. Las estructuras de control cambian ese flujo:

• Condicionales (if, elif, else): ejecutan código según una condición.
• Ciclos (while, for): repiten código múltiples veces.

Condicional: if

Ejecuta un bloque solo si se cumple una condición.

if edad >= 18:
    print("Sos mayor de edad")

Si la condición edad >= 18 es verdadera, ejecuta el bloque indentado. Si es falsa, no hace nada y sigue con lo que viene después.

if / else

"Si se cumple X, hacé una cosa; si no, hacé otra".

if edad >= 18:
    print("Mayor de edad")
else:
    print("Menor de edad")

Una de las dos ramas se ejecuta, nunca las dos.

if / elif / else

Para varias opciones encadenadas. elif es contracción de "else if":

nota = 7

if nota >= 8:
    print("Muy bien")
elif nota >= 6:
    print("Bien")
elif nota >= 4:
    print("Aprobado")
else:
    print("Desaprobado")

El orden importa

Si invertís las condiciones, el resultado cambia:

nota = 7

if nota >= 4:        # ❌ MAL: este sería el primer match
    print("Aprobado")
elif nota >= 6:
    print("Bien")
elif nota >= 8:
    print("Muy bien")

Acá nunca llegaría a "Bien" o "Muy bien" porque el primer if ya capturó toda nota ≥ 4. Empezá siempre por las condiciones más estrictas.

Condiciones compuestas

edad = 25
tiene_dni = True

if edad >= 18 and tiene_dni:
    print("Puede votar")

# Múltiples opciones
dia = "lunes"
if dia == "sábado" or dia == "domingo":
    print("Es fin de semana")
else:
    print("Es día de semana")

Condicionales anidados

Un if adentro de otro:

if tiene_dni:
    if edad >= 16:
        print("Puede votar")
    else:
        print("Muy joven para votar")
else:
    print("Necesita DNI")

Esto es equivalente a usar and en muchos casos, pero te permite tomar decisiones distintas en cada nivel.

Ciclo while

Repite un bloque de código mientras se cumpla una condición. Cada repetición se llama iteración.

i = 0
while i < 5:
    print(i)
    i = i + 1

Imprime 0, 1, 2, 3, 4. El ciclo sigue mientras i < 5. En cada vuelta se suma 1, hasta que i llega a 5 y la condición se vuelve falsa.

Patrón "contador"

i = 0
while i < n:    # n veces
    # hacer algo
    i = i + 1

Patrón "validación de entrada"

n = int(input("Ingresá un positivo: "))
while n <= 0:
    print("Tiene que ser positivo")
    n = int(input("Ingresá un positivo: "))

Sigue pidiendo hasta que el usuario ingrese algo válido.

Patrón "bandera"

seguir = True
while seguir:
    respuesta = input("¿Continuar? (s/n): ")
    if respuesta == "n":
        seguir = False
    else:
        print("Hacemos otra cosa...")

Patrón "acumulador"

suma = 0
i = 1
while i <= 100:
    suma = suma + i
    i = i + 1
print(suma)    # 5050 (suma de 1 a 100)

i = 0
while i < 5:
    print(i)
    # ❌ falta i = i + 1, i nunca llega a 5

Ciclo for

Recorre los elementos de una secuencia (lista, string, range, tupla, diccionario...) uno por uno.

for letra in "Python":
    print(letra)

Imprime P, y, t, h, o, n.

nombres = ["Ana", "Bruno", "Carla"]
for nombre in nombres:
    print("Hola", nombre)

La función range()

Genera una secuencia de enteros. Muy usada con for:

suma = 0
for i in range(1, 11):    # 1, 2, ..., 10
    suma = suma + i
print(suma)   # 55

for i in range(1, 11):
    print(f"5 x {i} = {5 * i}")

colores = ["rojo", "verde", "azul"]
for i, color in enumerate(colores):
    print(f"{i}: {color}")
# 0: rojo
# 1: verde
# 2: azul

¿Cuándo for y cuándo while?

break y continue

• break: corta el ciclo inmediatamente, sale de él.
• continue: salta a la siguiente iteración sin ejecutar el resto del cuerpo.

for i in range(10):
    if i == 5:
        break       # corta al llegar a 5
    print(i)
# Imprime 0, 1, 2, 3, 4 (no llega a 5)

for i in range(10):
    if i % 2 == 0:
        continue    # salta los pares
    print(i)
# Imprime 1, 3, 5, 7, 9

Ciclos anidados

Un ciclo dentro de otro. Útil para recorrer estructuras de dos dimensiones:

for i in range(1, 4):
    for j in range(1, 4):
        print(f"{i},{j}", end=" ")
    print()
# 1,1 1,2 1,3
# 2,1 2,2 2,3
# 3,1 3,2 3,3

for i in range(1, 11):
    for j in range(1, 11):
        print(f"{i*j:4}", end="")
    print()

¿Qué es una lista?

Una lista es una colección ordenada y mutable de elementos. "Ordenada" porque cada elemento ocupa una posición específica. "Mutable" porque podés modificarla después de crearla.

numeros = [10, 20, 30, 40, 50]
palabras = ["casa", "árbol", "auto"]
mezcla = [1, "hola", 3.14, True]   # puede tener distintos tipos
vacia = []                          # lista vacía

Acceso por índice

Los elementos se acceden por su índice, que en Python empieza desde 0 (NO desde 1).

numeros = [10, 20, 30, 40, 50]
print(numeros[0])   # 10 (primero)
print(numeros[2])   # 30 (tercero)
print(numeros[4])   # 50 (último)
print(numeros[5])   # ❌ IndexError: out of range

Índices negativos

En Python, los índices negativos cuentan desde el final:

numeros = [10, 20, 30, 40, 50]
print(numeros[-1])  # 50 (último)
print(numeros[-2])  # 40 (anteúltimo)
print(numeros[-5])  # 10 (primero)

Lista:        [10,  20,  30,  40,  50]
Índice +:       0,   1,   2,   3,   4
Índice -:      -5,  -4,  -3,  -2,  -1

Longitud: len()

numeros = [10, 20, 30, 40, 50]
print(len(numeros))   # 5
print(len([]))        # 0

Para obtener el último elemento de una lista de longitud variable, lo más seguro es lista[-1] o lista[len(lista)-1].

Slicing (rebanadas)

Para obtener una sublista, usás lista[inicio:fin]. El fin no se incluye (igual que en range).

numeros = [10, 20, 30, 40, 50]
print(numeros[1:4])    # [20, 30, 40]
print(numeros[:3])     # [10, 20, 30] (desde el principio)
print(numeros[2:])     # [30, 40, 50] (hasta el final)
print(numeros[:])      # [10, 20, 30, 40, 50] (copia completa)
print(numeros[::2])    # [10, 30, 50] (cada 2)
print(numeros[::-1])   # [50, 40, 30, 20, 10] (al revés)

Mutabilidad: modificar una lista

nums = [10, 20, 30]
nums[1] = 99
print(nums)   # [10, 99, 30]

Métodos más usados

Funciones útiles para listas

numeros = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]

len(numeros)   # 8
sum(numeros)   # 31 (suma)
max(numeros)   # 9
min(numeros)   # 1
sorted(numeros)  # [1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9] devuelve nueva lista ordenada

Recorrer una lista

Dos formas típicas:

numeros = [10, 20, 30, 40]

# Por elemento (más común)
for n in numeros:
    print(n)

# Por índice (cuando necesitás la posición)
for i in range(len(numeros)):
    print(i, numeros[i])

# Por elemento e índice (con enumerate, lo mejor)
for i, n in enumerate(numeros):
    print(i, n)

Operadores útiles: in, +, *

5 in [1, 2, 3, 5]            # True (¿está 5?)
"casa" in ["auto", "casa"]   # True
3 not in [1, 2, 5]           # True

[1, 2] + [3, 4]     # [1, 2, 3, 4] (concatena)
[0] * 5             # [0, 0, 0, 0, 0] (repite)
[1, 2] * 3          # [1, 2, 1, 2, 1, 2]

Listas de listas (matrices)

Una lista puede contener otras listas. Sirve para representar matrices, tablas, etc.

matriz = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]

print(matriz[0])      # [1, 2, 3] (primera fila)
print(matriz[0][2])   # 3 (fila 0, columna 2)

# Recorrer una matriz
for fila in matriz:
    for valor in fila:
        print(valor, end=" ")
    print()

Patrones típicos con listas

numeros = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
suma = 0
for n in numeros:
    suma = suma + n
print(suma)    # 31

# Más corto:
print(sum(numeros))

numeros = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
pares = 0
for n in numeros:
    if n % 2 == 0:
        pares = pares + 1
print(pares)   # 3 (4, 2, 6)

numeros = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
mayores_a_3 = []
for n in numeros:
    if n > 3:
        mayores_a_3.append(n)
print(mayores_a_3)   # [4, 5, 9, 6]

numeros = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6]
mayor = numeros[0]
for n in numeros:
    if n > mayor:
        mayor = n
print(mayor)    # 9

Tuplas: como listas pero inmutables

Una tupla es una colección ordenada como la lista, pero no se puede modificar una vez creada. Se escribe con paréntesis (o sin nada):

coord = (3, 4)
colores = ("rojo", "verde", "azul")
sin_parentesis = 1, 2, 3   # también es tupla

print(coord[0])      # 3
print(coord[1])      # 4
# coord[0] = 99      # ❌ TypeError: tuplas inmutables

¿Cuándo usar tupla en vez de lista?

• Cuando los datos no deben cambiar (coordenadas, fechas, valores constantes).
• Cuando devolvés varios valores desde una función.
• Cuando querés "marcar" que algo es inmutable por seguridad.

Desempaquetado

Podés asignar varios valores a la vez:

x, y = (3, 4)
print(x)   # 3
print(y)   # 4

# También funciona con listas
nombre, edad = ["Ariel", 30]

# Truco para intercambiar variables
a = 1
b = 2
a, b = b, a    # ahora a=2, b=1

¿Qué es un diccionario?

Un diccionario es una colección de pares clave:valor. A diferencia de una lista (donde accedés por posición numérica), en un diccionario accedés por una clave que vos elegís — puede ser un texto, un número o cualquier valor inmutable.

persona = {"nombre": "Ariel", "edad": 30, "ciudad": "Buenos Aires"}

print(persona["nombre"])   # "Ariel"
print(persona["edad"])     # 30

Cuando vendría bien un diccionario

Cuando los datos tienen "etiquetas naturales": en vez de recordar que la posición 0 es el nombre y la 1 la edad, escribís persona["nombre"] y se entiende solo.

Sintaxis

• Llaves { } (no corchetes).
• Cada par tiene la forma clave: valor.
• Los pares se separan con comas.
• Las claves suelen ser strings o números enteros. Los valores pueden ser cualquier cosa (incluso otra lista o diccionario).

Crear, agregar, modificar, borrar

# Vacío
persona = {}

# Agregar (clave nueva)
persona["nombre"] = "Ariel"
persona["edad"] = 30

# Modificar (clave existente — misma sintaxis que agregar)
persona["edad"] = 31

# Borrar
del persona["edad"]
# o también
edad = persona.pop("edad")    # saca y devuelve el valor

print(persona)   # {'nombre': 'Ariel'}

¿Existe una clave?

Antes de acceder a una clave que podría no existir, conviene verificar:

if "nombre" in persona:
    print("Tiene nombre:", persona["nombre"])

# Para verificar que NO esté
if "telefono" not in persona:
    print("No tiene teléfono")

Métodos útiles

Recorrer un diccionario

persona = {"nombre": "Ariel", "edad": 30, "ciudad": "BA"}

# Por clave (lo más común)
for clave in persona:
    print(clave, "→", persona[clave])

# Por valores
for valor in persona.values():
    print(valor)

# Por pares clave-valor (lo más útil)
for clave, valor in persona.items():
    print(f"{clave}: {valor}")

Listas de diccionarios

Estructura muy común: cada elemento de una lista es un diccionario. Es la forma natural de representar "una tabla con filas".

personas = [
    {"nombre": "Ana",   "edad": 25, "ciudad": "BA"},
    {"nombre": "Bruno", "edad": 30, "ciudad": "Rosario"},
    {"nombre": "Carla", "edad": 28, "ciudad": "BA"}
]

# Recorrer
for p in personas:
    print(p["nombre"], "tiene", p["edad"], "años")

# Filtrar mayores de 27
mayores = []
for p in personas:
    if p["edad"] > 27:
        mayores.append(p)
print(mayores)

# Promedio de edad
suma = 0
for p in personas:
    suma = suma + p["edad"]
promedio = suma / len(personas)
print("Promedio:", promedio)

Patrones típicos con diccionarios

letras = "missisipi"
conteo = {}
for letra in letras:
    if letra in conteo:
        conteo[letra] = conteo[letra] + 1
    else:
        conteo[letra] = 1
print(conteo)   # {'m': 1, 'i': 4, 's': 3, 'p': 1}

personas = [
    {"nombre": "Ana", "ciudad": "BA"},
    {"nombre": "Bruno", "ciudad": "Rosario"},
    {"nombre": "Carla", "ciudad": "BA"}
]

por_ciudad = {}
for p in personas:
    c = p["ciudad"]
    if c not in por_ciudad:
        por_ciudad[c] = []
    por_ciudad[c].append(p["nombre"])
print(por_ciudad)
# {'BA': ['Ana', 'Carla'], 'Rosario': ['Bruno']}

Validación de usuarios (clásico de parcial)

users = {"ariel": "clave123", "juan": "pwd456"}

def ingreso(usr_dict):
    u = input("Usuario: ")
    cl = input("Clave: ")
    if u in usr_dict:
        if usr_dict[u] == cl:
            return True
    return False

while not ingreso(users):
    print("Datos erróneos, volvé a intentar")
print("¡Bienvenido!")

Diccionarios anidados

Un diccionario puede tener como valor otro diccionario:

datos = {
    "ariel": {"edad": 30, "ciudad": "BA"},
    "juan":  {"edad": 25, "ciudad": "Rosario"}
}

print(datos["ariel"]["edad"])     # 30
print(datos["juan"]["ciudad"])    # Rosario

¿Por qué trabajar con archivos?

Cuando un programa termina, se pierden todas las variables. Para persistir datos (que sobrevivan más allá de la ejecución), tenés que escribirlos en un archivo en disco. Después podés leer esos datos en otra ejecución.

Casos típicos:

• Guardar el resultado de un cálculo.
• Cargar una lista de usuarios o productos.
• Procesar datasets (CSV).
• Generar reportes en texto.

Abrir un archivo: open()

archivo = open("datos.txt", "r")
# ... operaciones ...
archivo.close()

Toma dos parámetros: el nombre (con ruta si está en otra carpeta) y el modo.

Leer un archivo

# Opción 1: leer todo como un solo string
archivo = open("datos.txt", "r")
contenido = archivo.read()
print(contenido)
archivo.close()

# Opción 2: leer línea por línea (recomendado para archivos grandes)
archivo = open("datos.txt", "r")
for linea in archivo:
    print(linea.strip())   # strip() quita el salto de línea final
archivo.close()

# Opción 3: leer todas las líneas a una lista
archivo = open("datos.txt", "r")
lineas = archivo.readlines()
archivo.close()
print(lineas)   # ['linea 1\n', 'linea 2\n', ...]

Escribir en un archivo

archivo = open("salida.txt", "w")
archivo.write("Hola\n")
archivo.write("Segunda línea\n")
archivo.close()

La forma recomendada: with

Abre el archivo y lo cierra automáticamente al terminar el bloque, incluso si hay error. Es lo que se usa en código profesional.

with open("datos.txt", "r") as archivo:
    for linea in archivo:
        print(linea.strip())
# Acá ya está cerrado automáticamente

Lo podés usar también para escritura:

with open("salida.txt", "w") as f:
    f.write("Línea 1\n")
    f.write("Línea 2\n")

Procesar líneas: strip() y split()

• linea.strip(): quita espacios y saltos de línea al principio y final.
• linea.split(","): divide la línea por comas y devuelve una lista.
• linea.split() sin argumento: divide por espacios.

with open("notas.csv", "r") as f:
    for linea in f:
        partes = linea.strip().split(",")
        nombre = partes[0]
        nota = int(partes[1])
        print(f"{nombre}: {nota}")

Acumular datos en una estructura

notas = []
with open("notas.txt", "r") as f:
    for linea in f:
        notas.append(int(linea.strip()))

print("Promedio:", sum(notas) / len(notas))
print("Máximo:", max(notas))

Manejo de errores

Un error (o excepción) ocurre cuando algo sale mal: un archivo no existe, el usuario ingresa texto donde esperabas número, dividís por cero. Por defecto, cuando ocurre un error, el programa se corta.

Para que el programa pueda recuperarse, usás try/except.

try / except

try:
    n = int(input("Ingresá un número: "))
    print(n * 2)
except ValueError:
    print("Eso no fue un número")

• try: "intentá ejecutar este código".
• except: "si surge un error de tipo X, hacé esto otro".

Si el código del try se ejecuta sin errores, el except se saltea. Si hay error, se ejecuta el except correspondiente.

Excepciones más comunes

Múltiples except

Podés manejar errores distintos por separado:

try:
    archivo = open("datos.txt", "r")
    n = int(archivo.readline())
    resultado = 10 / n
    print(resultado)
except FileNotFoundError:
    print("No existe el archivo")
except ValueError:
    print("El archivo no tiene un número válido")
except ZeroDivisionError:
    print("No se puede dividir por cero")

Capturar cualquier excepción

try:
    # algo que puede fallar
    pass
except Exception as e:
    print("Falló algo:", e)

Con as e guardás el objeto excepción en e y podés imprimirlo o usarlo.

else y finally

• else: se ejecuta solo si NO hubo excepción.
• finally: se ejecuta siempre (haya error o no). Útil para "limpiar" recursos.

try:
    archivo = open("datos.txt", "r")
    contenido = archivo.read()
except FileNotFoundError:
    print("No existe el archivo")
else:
    print("Lectura exitosa")
    print(contenido)
finally:
    print("Termina la operación")

Validación robusta de input (clásico de parcial)

def pedir_entero_positivo(cartel):
    while True:
        try:
            n = int(input(cartel))
            if n > 0:
                return n
            else:
                print("Tiene que ser mayor que 0")
        except ValueError:
            print("Tiene que ser un entero")

num = pedir_entero_positivo("Ingresá un natural: ")
print("Recibido:", num)

Este patrón cubre dos situaciones a la vez: que el usuario escriba algo no numérico y que escriba un número inválido (≤ 0).

¿Qué es una biblioteca?

Una biblioteca (library) es código que otros escribieron y podés usar en tus programas importándolo. Evita "reinventar la rueda". Python viene con muchas bibliotecas incluidas (estándar) y miles más se pueden instalar.

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

• import: carga la biblioteca.
• as: le da un nombre más corto (alias) para usarla.

pd es el alias estándar de Pandas. plt es el de Matplotlib. Esos alias son convención universal — usalos así.

¿Qué es Pandas?

Pandas es la biblioteca estándar para trabajar con datos en forma tabular (filas y columnas, como una planilla Excel) en Python. Se usa muchísimo en ingeniería, ciencia de datos, finanzas y análisis en general.

Estructuras principales

• DataFrame: una tabla con filas y columnas (con etiquetas).
• Series: una sola columna (o fila) con etiquetas.

Crear un DataFrame

Desde un diccionario

import pandas as pd

datos = {
    "nombre": ["Ana", "Bruno", "Carla", "Diego"],
    "edad":   [25, 30, 28, 35],
    "ciudad": ["CABA", "Rosario", "CABA", "Mendoza"]
}
df = pd.DataFrame(datos)
print(df)

Genera una tabla:

   nombre  edad   ciudad
0     Ana    25     CABA
1   Bruno    30  Rosario
2   Carla    28     CABA
3   Diego    35  Mendoza

Desde un archivo CSV

CSV (Comma-Separated Values) es el formato más común para datos tabulares: un archivo de texto donde cada fila es una línea y las columnas se separan por comas.

df = pd.read_csv("datos.csv")

Si el separador es punto y coma (común en archivos europeos):

df = pd.read_csv("datos.csv", sep=";")

Explorar un DataFrame

Acceder a columnas

df["edad"]              # la columna edad como Series
df[["nombre", "edad"]]  # varias columnas (corchete doble) → DataFrame nuevo

Acceder a filas: .iloc y .loc

• df.iloc[i]: por posición (índice numérico).
• df.loc[i]: por etiqueta del índice (suele coincidir cuando el índice es 0,1,2,...).

df.iloc[0]      # primera fila
df.iloc[-1]     # última fila
df.iloc[0:3]    # primeras 3 filas (slicing)

df.loc[0, "nombre"]   # valor de fila 0, columna nombre

Filtrar filas (lo más usado)

Le pasás al DataFrame una condición y te devuelve solo las filas que la cumplen:

# Personas mayores de 27
df[df["edad"] > 27]

# Personas de CABA
df[df["ciudad"] == "CABA"]

# Combinado: mayor de 25 Y de CABA
df[(df["edad"] > 25) & (df["ciudad"] == "CABA")]

# O: de CABA o de Mendoza
df[(df["ciudad"] == "CABA") | (df["ciudad"] == "Mendoza")]

# Más elegante con isin:
df[df["ciudad"].isin(["CABA", "Mendoza"])]

Operaciones agregadas (estadísticas)

df["edad"].mean()       # promedio
df["edad"].max()        # máximo
df["edad"].min()        # mínimo
df["edad"].sum()        # suma total
df["edad"].count()      # cantidad de no-nulos
df["edad"].std()        # desvío estándar
df["edad"].median()     # mediana

Conteos y agrupamientos

# Cuántos hay de cada valor
df["ciudad"].value_counts()
# CABA       2
# Rosario    1
# Mendoza    1

# Agrupar y agregar
df.groupby("ciudad")["edad"].mean()
# Promedio de edad por ciudad

df.groupby("ciudad").size()
# Cantidad de filas por ciudad

Ordenamiento

df.sort_values("edad")                  # ascendente
df.sort_values("edad", ascending=False) # descendente
df.sort_values(["ciudad", "edad"])      # primero por ciudad, después por edad

Agregar / modificar columnas

df["mayor_de_edad"] = df["edad"] >= 18
df["edad_doble"] = df["edad"] * 2
df["categoria"] = "joven"   # mismo valor en toda la columna

apply: aplicar una función a cada fila o columna

def categoria(edad):
    if edad < 18:
        return "menor"
    elif edad < 65:
        return "adulto"
    else:
        return "jubilado"

df["cat"] = df["edad"].apply(categoria)

Borrar columnas o filas

df = df.drop("ciudad", axis=1)        # borra columna
df = df.drop(0, axis=0)               # borra fila con índice 0

Valores nulos

df.isnull()           # DataFrame de True/False
df.isnull().sum()     # cuántos nulos por columna
df.dropna()           # borra filas con cualquier nulo
df.fillna(0)          # rellena nulos con 0

¿Qué es Matplotlib?

Matplotlib es la biblioteca estándar para crear gráficos en Python. Permite hacer gráficos de línea, barras, dispersión, histogramas, tortas, y mucho más. La parte que más se usa es pyplot:

import matplotlib.pyplot as plt

plt es el alias convencional.

Gráfico de línea básico

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 1, 5, 3]

plt.plot(x, y)
plt.show()

• plt.plot(x, y): arma el gráfico (puntos x,y unidos con línea).
• plt.show(): lo muestra. En Colab no siempre hace falta — suele aparecer solo.

Agregar títulos y etiquetas

plt.plot(x, y)
plt.title("Mi primer gráfico")
plt.xlabel("Tiempo (s)")
plt.ylabel("Velocidad (m/s)")
plt.show()

Tipos de gráficos principales

Ejemplo: gráfico de barras

meses = ["Ene", "Feb", "Mar", "Abr"]
ventas = [120, 90, 150, 180]

plt.bar(meses, ventas)
plt.title("Ventas por mes")
plt.xlabel("Mes")
plt.ylabel("Ventas")
plt.show()

Ejemplo: dispersión

edades = [25, 30, 35, 28, 45, 50]
salarios = [40000, 50000, 65000, 45000, 80000, 90000]

plt.scatter(edades, salarios)
plt.xlabel("Edad")
plt.ylabel("Salario")
plt.title("Relación edad-salario")
plt.show()

Ejemplo: histograma

edades = [22, 25, 24, 30, 28, 35, 40, 26, 33, 29, 31, 27, 32]

plt.hist(edades, bins=5)
plt.xlabel("Edad")
plt.ylabel("Frecuencia")
plt.title("Distribución de edades")
plt.show()

El parámetro bins indica en cuántos rangos dividir.

Personalización de líneas

plt.plot(x, y,
         color="red",      # color de la línea
         linestyle="--",   # estilo: '-', '--', ':', '-.'
         linewidth=2,      # grosor
         marker="o",       # marca cada punto: 'o', 's', '^', 'x'
         markersize=8)     # tamaño del marker

Múltiples series en un mismo gráfico

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y1 = [2, 4, 6, 8, 10]
y2 = [1, 4, 9, 16, 25]

plt.plot(x, y1, label="Producto A")
plt.plot(x, y2, label="Producto B")
plt.legend()       # muestra las etiquetas
plt.grid(True)     # cuadrícula
plt.show()

Conectar Pandas con Matplotlib

Podés graficar directamente desde un DataFrame:

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv("ventas.csv")

# Forma 1: pasar columnas a plt
plt.plot(df["mes"], df["total"])
plt.title("Ventas mensuales")
plt.show()

# Forma 2: usar .plot() del DataFrame (más compacto)
df.plot(x="mes", y="total", kind="bar")
plt.show()

El parámetro kind de df.plot() puede ser: 'line', 'bar', 'barh', 'hist', 'scatter', 'pie', 'box'.

Subplots: varios gráficos en una figura

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))   # 1 fila, 2 columnas

ax[0].plot(x, y1)
ax[0].set_title("Serie 1")

ax[1].bar(meses, ventas)
ax[1].set_title("Ventas")

plt.show()

Guardar el gráfico

plt.plot(x, y)
plt.savefig("grafico.png")    # antes de show()
plt.show()

La estructura del parcial Balbiano

El parcial de Pensamiento Computacional tiene 9 o 10 preguntas de opción múltiple con una sola respuesta correcta. La duración es de 1:30 h.

Las preguntas 1–5 (o 1–7) valen 1 punto cada una. Las últimas 4 (o 3) valen 2 puntos o 0 (sin puntos intermedios). La nota se calcula según una escala fija: de 13 puntos máximos posibles a nota del 1 al 10.

Los 6 tipos de preguntas del parcial 21/4/2025

Cada tema (1 a 8) repite la misma estructura de 9 ejercicios. Los tipos que aparecen: